偏屈層を勉強しよう！ - Cuさんのオタク日記

こんにちは！ Cuです．
みなさんは層をご存じですか？もちろんご存じですね！
それでは偏屈層はご存じでしょうか？こちらは知らないよ～という人も多いかもしれません！この記事では偏屈層の勉強方法を紹介していきます！

定義

層

位相空間 $X$ *1 上の前層 $\mathcal{F}$ というのは，各開集合 $U$ に対して $k$ 上ベクトル空間*2 $\mathcal{F} (U)$ を対応させ，さらに $U \subset V$ に対して $\rho_{U V} : \mathcal{F} (V) \to \mathcal{F} (V)$ が良い感じの条件

$U \subset V \subset W$ に対し $\rho_{UW} = \rho_{VW} \circ \rho_{UV}$ となる．
$\rho_{UU} = id_{\mathcal{F} (U)}$

を満たすように定義されたものでした．ここで $s \in \mathcal{F} (V)$ に対して $\rho_{UV} (s)$ を $s\mid_U$ と表します．

これに加えて $U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$ に対して

$s,t \in \mathcal{F} (U)$ が，任意の $\lambda$ に対して $s \mid_{U_{\lambda}} = t \mid_{U_{\lambda}}$ であれば $s=t$ が成立する．（局所的に見て同じなら全体でも同じというイメージ．要は単射性のようなもの．）
任意の族 $\{ s_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ について $s_{\lambda} \in \mathcal{F} (U_{\lambda})$ ， $s_{\mu} \in \mathcal{F} (U_{\mu})$ に対して $s_{\lambda} \mid_{U_{\lambda} \cap U_{\mu}} = s_{\mu} \mid_{U_{\lambda} \cap U_{\mu}}$ であれば， $s \in \mathcal{F} (U)$ であって $s \mid_{\lambda} = s_{\lambda}$ となる元が存在する．（局所的に貼り合っているものは全体に伸びるというイメージ．要は全射性のようなもの．）

という条件が成り立つとき， $\mathcal{F}$ を層といいます．

2つの層 $\mathcal{F} , \mathcal{G}$ に対して，準同型の族 $\phi = \{ \phi (U) \}_{U :open}$ が

$\begin{matrix} \mathcal{F} (V) & \xrightarrow{\phi (V)} & \mathcal{G} (U)\\ \downarrow && \downarrow\\ \mathcal{F} (U) & \xrightarrow{\phi (U)} & \mathcal{G} (U) \end{matrix}$

が可換になる（つまり $\rho^{\mathcal{G}}_{UV} \circ \phi (V) = \phi (U) \circ \rho^{\mathcal{F}}_{UV}$ となる）とき， $\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を層の射といいます．

層の射の集合を $\mathrm{Hom} (\mathcal{F} , \mathcal{G})$ と書きます．

これらの定義によって $X$ 上の層の成す圏 $\mathrm{Sh} (X,k)$ が得られます．

茎

層とは開集合上にベクトル空間が乗っているものというのは分かりましたね．この開集合をどんどん小さくしていくと，なにかしらのベクトル空間が得られるような気がします．

$x \in X$ について $\mathop{\varinjlim}\limits_{x \in U} \mathcal{F} (U)$ で定まるベクトル空間を層の茎といいます．これを $\mathcal{F}_x$ と書きます．

層 $\mathcal{F}$ の台を

$\mathrm{supp} \ \mathcal{F} = \overline{\{ x \in X \mid \mathcal{F}_x \neq 0 \}}$

と定義します．

例

$\mathcal{F} (U)$ で $U$ 上の連続関数全体の集合としましょう．この対応により $\mathcal{F}$ は層になります．
茎 $\mathcal{F}_x$ は $x \in X$ 上で連続な関数全体となります．台は $X$ 全体となります．

これでイメージが付きましたね．

定数層

重要な層のクラスに定数層というものがあります．

$M$ をベクトル空間とします． $M$ についての定数層 $\underline{M}_X$ を

$\underline{M}_X (U) = \{ f : U \to M \mid U \ \text{上の局所定数関数} \}$

と定義します．

例えば $\underline{\mathbb{C}}_{\mathbb{R}} (0,1)$ は $0 < x < 1$ 上の $\mathbb{C}$ 値定数関数全体になります． $\mathbb{C}$ と同型になります．

$\underline{\mathbb{C}}_{\mathbb{R}} ( (0,1) \cup (2,3) )$ は $0 < x < 1$ である値 $a$ ， $2 < x < 3$ でまたある値 $b$ を取る関数全体の集合になります．これは $\mathbb{C}^2$ と同型になります．

このように $U$ が $n$ 個の繋がっている部分に分かれるとき， $\underline{M}_X (U)$ は $M^n$ と同型になります．

$X$ が局所連結という性質を持つとき，茎を見るときは $U$ 全体が繋がっている開集合で $x$ に近付けることができるため， $\underline{M}_{X,x} simeq M$ となります．

さらに $X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda}$ という開被覆について $\mathcal{F} \mid_{U_{\lambda}}$ が定数層になるとき，これを局所定数層といいます．

Hom

層の射から得られる層を考えることができます． $\mathcal{F} . \mathcal{G} \in \mathrm{Sh} (X,k)$ に対して

$\mathcal{Hom} (\mathcal{F} , \mathcal{G}) (U) = \mathrm{Hom} (\mathcal{F}\mid_U , \mathcal{G} \mid_U)$

と定めることで層 $\mathcal{Hom} (\mathcal{F} , \mathcal{G})$ が得られます．

導来圏

層の複体とは，層の列

$\mathcal{F}^{\bullet} = (\cdots \xrightarrow{d^{-2}} \mathcal{F}^{-1} \xrightarrow{d^{-1}} \mathcal{F}^{0} \xrightarrow{d^{0}} \mathcal{F}^{1} \xrightarrow{d^{1}} \cdots )$

であって $d^{i+1} \circ d^{i} = 0$ となるものを指します．

与えられた複体 $\mathcal{F}^{\bullet}$ に対して， $i$ 次コホモロジーを $\mathrm{H}^i (\mathcal{F}^{\bullet}) = \ker d^i / \mathrm{Im} \ d^{i-1}$ と定義します．

層の複体 $\mathcal{F}^{\bullet} , \mathcal{G}^{\bullet}$ に対して，その間の射 $f^{\bullet} : \mathcal{F}^{\bullet} \to \mathcal{G}^{\bullet}$ とは

$\require{AMScd} \begin{CD} \mathcal{F}^{i} @>d^i>> \mathcal{F}^{i+1} \\ @V{f^{i}}VV @V{f^{i+1}}VV \\ \mathcal{G}^i @>d^i>> \mathcal{G}^{i+1} \end{CD}$

が可換になるものと定義します．

この射により層の複体の圏が得られましたね．

ここで射 $f : \mathcal{F}^{\bullet} \to \mathcal{G}^{\bullet}$ から誘導される射 $\mathrm{H}^i (\mathcal{F}^{\bullet}) \to \mathrm{H}^i (\mathcal{G}^{\bullet})$ がすべての $i$ で同型になるとき， $f$ を擬同型ということにします．

超大雑把にいうと，この擬同型でつながった対象を同一視した圏を導来圏といいます．*3これを $D (X,k)$ と書くことにします．

特に十分大きい $i$ と十分小さい $i$ で $\mathrm{H}^i (\mathcal{F}^{\bullet}) = 0$ となる対象からなる部分圏を $D^b (X,k)$ と書きます．

層の圏は導来圏に入っている！

層 $\mathcal{F}$ は $\mathcal{F} = ( \cdots \to 0 \to \mathcal{F} \to 0 \to \cdots)$ という複体であると考えることで，自然に導来圏の対象であると見なせます．（ $\mathcal{F}$ は $0$ 番目にあるものとする）

シフト

$\mathcal{F}^{\bullet} \in D^b_c (X,k)$ に対して $\mathcal{F}^{\bullet} \lbrack n \rbrack$ を

$\mathcal{F}^{i} \lbrack n \rbrack = \mathcal{F}^{i+n}$

と定義します．これを $n$ シフトといいます．

シフトするとコホモロジーもシフトされますね．つまり

$\mathrm{H}^i (\mathcal{F} \lbrack n \rbrack ) =\mathrm{H}^{i+n} (\mathcal{F})$

となります．

導来版のHom

複体 $\mathcal{F}^{\bullet} , \mathcal{G}^{\bullet}$ から得られるHom複体 $\mathrm{ch} \mathcal{Hom}^{\bullet} (\mathdal{F}^{\bullet} , \mathcal{G}^{\bullet})$ を

$\mathrm{ch} \mathcal{Hom}^{n} = \displaystyle \bigoplus_{j-i=n} \mathcal{Hom} (\mathcal{F}^i,\mathcal{G}^j)$

と定義します．

この複体から来る導来圏の対象を $R\mathcal{Hom} (\mathcal{F}, \mathcal{G})$ と書きます．こうして導来圏でのHomが得られました．

構成可能層

色々と丁寧に言葉を定義したほうがいいのですが，丁寧に書くと大変なので大雑把に定義を紹介します．

$\mathcal{F} \in \mathrm{Sh} (X,k)$ が連結な局所閉集合（開集合と閉集合の共通部分となる集合）に制限すると，局所定数層になるとき，これを構成可能層といいます．

各 $i$ 次コホモロジーが構成可能層になる対象からなる圏を $D^b_c (X,k)$ と書きます．これが偏屈層の住処となります．

偏屈層

ちょっと記事が長くなってきたので，一旦定義をキチンとせずに道具の名前を紹介します．

$a_X : X \to pt$ という連続関数を考えます．ここから $a_X^{!} : D^b_c (pt,k) \to D^b_c (X,k)$ という関手が誘導されます．これを用いて $\omega_X = a_X^{!} \underline{k}_X$ という対象が得られます．これを双対化複体といいます．
ここから得られる $R\mathcal{Hom} (\mathcal{F}, \omega_X)$ を $\mathbb{D} \mathcal{F}$ と書きます．

ベクトル空間 $V$ の双対 $V^{\ast}$ の $D^b_c (X,k)$ 版のようなものが上記で定義できると思ってください．

この「双対」を用いて偏屈層を定義します．

${}^p D^b_c (X,k)^{\leq 0} = \{ \mathcal{F} \in D^b_c (X,k) \mid \forall i , \dim \mathrm{supp} \ \mathrm{H}^i (\mathcal{F}) < -i \}$

${}^p D^b_c (X,k)^{\geq 0} = \{ \mathcal{F} \in D^b_c (X,k) \mid \forall i , \dim \mathrm{supp} \ \mathrm{H}^i (\mathbb{D} \mathcal{F}) < -i \}$

と定めます．こうして定まる $D^b_c (X,k)$ のクラス分けを偏屈 t 構造といいます．

さらに

$\mathrm{Perv} (X,k) = {}^p D^b_c (X,k)^{\leq 0} \cap {}^p D^b_c (X,k)^{\geq 0}$

と定義します．この $\mathrm{Perv} (X,k)$ の対象を偏屈層といいます．

例

簡単のために定数層 $\underline{M}_X$ を考えましょう．定数層はもちろん構成可能ですし，そのまま導来圏に埋め込むことができます．

すると

$\mathrm{supp} \ (\mathrm{H}^i (\underline{M}_X)) = \begin{cases} X &(i = 0)\\ \emptyset &(i\neq 0) \end{cases}$

ですから，

$\dim \mathrm{supp} \ (\mathrm{H}^i (\underline{M}_X)) = \begin{cases} 1 &(i = 0)\\ -\infty &(i\neq 0) \end{cases}$

となります．

$i=0$ において $\dim \mathrm{supp} \ (\mathrm{H}^0 (\underline{M}_X)) = 1 \geq 0$ となるため，偏屈層にはなりません．

しかしシフトをした $\underline{M}_X [1$ ] は偏屈層になります．この観察から偏屈層は局所的に見ると局所定数層（の導来）のシフトになると思えますね．

色々定義したけど何がええねん

まず偏屈層はアーベル圏になります．すごい！

また「層」と名前がついているように「張り合わせ」ができる対象でもあります．

偏屈層は幾何的表現論で頻出です．これは何故でしょうか？
表現論においては既約表現での分解などをよく考えるわけで，そこには「単純性・半単純性」というのが深く関わってきます．なんと偏屈層の単純性・半単純性というのは「交叉コホモロジー複体」という概念でかなりシンプルに*4書くことができます．

他にもヴェイユ予想や代数解析などでも出てきて，いろいろ便利らしいです！
あとのことは実際に本を読んだり，僕に聞いたりしてください（燃料切れ）

どんな本で勉強できるの？

和書

谷崎俊之，堀田良之，『D加群と代数群』

前半はリーマン・ヒルベルト対応をゴールにD加群を勉強していき，後半ではその応用として表現論のトピック（Kazhdan-Lusztig 理論）を触っていく本です．D加群モチベが低いと若干しんどいエリアが多いです．（昔そこで折れた）

https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b304418.html

庄司俊明，『代数群の幾何的表現論 I ―代数群のシュプリンガー対応と指標層―』

幾何的表現論の本です．付録にちょこっと書いてあります．

www.asakura.co.jp

洋書

Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takeuchi, Toshiyuki Tanisaki, D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory.

『D加群と代数群』に加筆をして英語にした本です．英語が読めるならこっちを読んだ方がいいです．

link.springer.com

Masaki Kashiwara , Pierre Schapira, Sheaves on Manifolds.

表現論というよりは，代数解析の本です．

層のマイクロ台といった代数解析のトピックを攫いながら，この記事でバーッと書いた話題を丁寧に綴ってく本です．
最後にD加群についても触れられています．

イントロがフランス語で書かれていてびっくりしますが，本文は英語なので大丈夫です．

link.springer.com

Pramod N. Achar, Perverse Sheaves and Applications to Representation Theory.

僕が講究（先生が見てくれるセミナー）で勉強している本です．

層・偏屈層の概説から始まり，幾何的表現論で使う道具を一通り学んだあと，シュプリンガー対応などの幾何的表現論のトピックをさらう本です．幾何的表現論概説パートは Kazhdan-Lusztig 理論・Springer 理論・Geometric Satake・箙の表現となんと4つのトピックを学べます．
分厚い本ですが，層の理論パートは self contained な本で読みやすい本といえます．~~ま，分厚すぎて表現論パートに入るまで半年以上かかったんですけどね．~~

問題としては D加群や stack（なんかむずいやつ）については説明が若干緩いです．あと高い．

bookstore.ams.org